中国科学技术大学2022年数学分析考研参考及参考解答
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USTC202201选择题(正确选项可能不唯一,请写出选项号).
(1)积分
的值等于__ __.
A. B. C. D.积分不存在
解注意到被积函数是奇函数,而奇函数在对称区间上的积分为 .
(2)设函数 可微且导数有界,则__ __.
A. 有界 B. 单调增 C. 一致连续 D. 单调减
解对于A,B而言取反例 ,对于D而言取反例 .
(3)已知 ,则 等于__ __.
A. B. C. D.
解计算可知
(4)设连续函数 满足 ,其中 ,则积分 等于__ __.
A.
B.
C.
D. }
解令 ,则 ,注意到
(5)函数 的定义域是__ __.
A. } B. C. D. 以上都不是
解计算可知收敛半径为 ,分别代入 和 验算即可.
(6)由下列哪个条件能判断数列 收敛?__ __
A.对任意的正整数 ,有 .
B.存在 ,对任意的的正整数 ,有 .
C.存在 和 ,对任意的正整数 ,有 .
D.对 的任意两个子列 和 ,都有 .
解对于A,有反例
(7)对有界数列 ,下面哪个说法可作为 的定义?__ __
A.对任意的 ,有无限多个正整数 ,使得 ,同时存在至多有限个正整数 使得 .
B.
C.
D. 在 的右侧只有 的有限多项且存在 的一个子列单调增加趋于 .
解对于A和D而言,有反例
(8)函数 在 上有定义,在 上连续,下面哪个条件能断定函数 在 上有最大值?__ __
A. 和 均存在且有限.
B. .
C. ,且存在 使得 .
D. ,且存在 ,使得 .}
解对于A而言,有反例
USTC202202计算积分 ,其中 .
解计算可知
USTC202203计算 与 所围的锥体体积,其中 .
解由柱坐标代换可知,记所围区域为 ,则
USTC202204计算积分
其中 为球面 的外侧, .
解记 所围区域为 ,由球坐标代换和Gauss公式计算可知
USTC202205设 ,证明: .
证明计算可知
由于
即
USTC202206函数 在区域 上是否一致连续?证明你的结论.
证明断言不一致连续,取
则,但
USTC202207设 是一个连续函数,证明:方程
在 中有且仅有一个根.
证明令 ,则 ,即 在 上递增,又 ,故 在 中有且仅有一个根.
STC202208设 连续可导, ,且 时,有 证明: 存在,且
证明由题意可知 ,故 在 上单调递增,进一步有
USTC202209设函数 在 上有二阶导数,当 时,有 ,当 时,有 ,证明: 在 处不可微.
证明若不然,则 在 处可微,由Darboux定理可知 ,且 是 的极小值点,但当 时,有
这与 在 上单调递增矛盾,故 在 处不可微.
USTC202210设
其中 ,证明:存在数列 使得 且 对 一致成立.
证明由和差化积公式可知
故要找到一个数列 ,满足 且即可.
注记本题涉及数论中的Kronecker定理,即设 是无理数,给定实数 ,则必存在正整数 和整数 ,使得 .数列 的构造较为复杂,限于笔者水平,在此不再赘述,欢迎读者补充.
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