数学考研参考(数学二考研参考)

数学考研真题，数学二考研真题

大家好！本文和大家分享一道2000年高考理工农医类数学真题。这道题考查的是三角恒等变换和三角函数的图像与性质及三角函数图像的变换等知识点，难度不大。对于现在的高中生来说，如果这道题都不会做，那么要考本科就难了。下面我们一起来看一下这道题。

先看第一问，求y取最大值时x的取值。要求三角函数的最值，常考题型归纳起来有两类：一是通过三角恒等变换将原函数转化为同一个角同一个函数名称并且是一次的形式，二是用换元法转化成一个更加简单的函数来求解。

回到题目。很明显，本题需要用三角恒等变换进行化简。首先，先用二倍角公式化简，即(cosx)^2=(cos2x+1)/2，sinxcosx=sin2x/2。然后再用辅助角公式进行变换，从而得到化简的结果，即y=[sin(2x+π/6)]/2+5/4。

此时y要取最大值，那么sin(2x+π/6)=1，即2x+π/6=2kπ+π/2，其中k为整数，解得x=kπ+π/6。

再看第二问：如何由函数y=sinx的图像变换得到题干所给函数的图像？

函数图像的变换主要分为四类：平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换。

平移变换：左加右减，上加下减。不过需要注意加减的位置以及x的系数；

对称变换：实际上与点的关于坐标轴对称类似，即y=f(x)关于x轴对称的函数为y=-f(x)，关于y轴对称的函数为y=f(-x)，关于原点对称的函数为y=-f(-x)；

翻折变换：将函数y=f(x)图像在x轴下方的部分翻折到上方，即可得到y=|f(x)|的图像；将y轴右侧的部分保留并翻折到左侧，即可得到y=f(|x|)的图像；

伸缩变换：改变的是x、y的系数，同样需要注意细节。

回到题目，本问有两条路径进行变换。

第一条路径：将y=sinx的图像向左平移π/6个单位，得到y=sin(x+π/6)的图像；再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的的二分之一，得到y=sin(2x+π/6)的图像；再保持横坐标不变，纵坐标缩短为原来的二分之一，即得到y=[sin(2x+π/6)]/2的图像；最后再将图像向上平移5/4个单位，就可以得到题干所给函数的图像。

第二条路径：y=sinx的图像纵坐标不变，横坐标缩短为原来的的二分之一，得到y=sin2x的图像；然后向左平移π/12个单位，得到y=sin(2x+π/6)的图像；后面的变换就同第一条路径了。

对于第二条路径，特别需要注意的就是左右移动的长度不是π/6而是π/12，这就是左右平移时x系数的影响，也是不少同学容易出错的地方，一定要引起足够的重视。这道题就和大家分享到这里。

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